Правило начертательной геометрии Советник

4.1. Способ перемены плоскостей проекций

Чаще всего геометрические объекты расположены относительно плоскостей проекций в общем положении, и при решении задач для достижения поставленной цели необходимо выполнять много построений.

Количество построений можно значительно сократить, если геометрические элементы будут расположены в частном положении относительно плоскостей проекций.

https://www.youtube.com/watch?v=ytcopyright

Существуют два основных способа преобразования чертежа, при которых:

  1. Объект остаётся неподвижным, при этом меняется аппарат проецирования;
  2. Условия проецирования не меняются, но изменяется положение объекта в пространстве.

К первому способу относится способ перемены плоскостей проекций.

Ко второму – способ вращения (вращение вокруг линии уровня и вращение вокруг проецирующей прямой); способ плоскопараллельного перемещения.

Рассмотрим наиболее часто используемые способы при решении задач.

Способ перемены плоскостей проекций или способ введения дополнительных плоскостей проекций (ДПП) позволяет перейти от заданной системы плоскостей проекций к новой системе, более удобной для решения той или иной задачи.

Рассмотрим положение точки А относительно известной системы плоскостей проекций π2⊥π1 (Рисунок 4.1, а и б).

Введём π4⊥π1, при этом получим новую систему двух взаимно перпендикулярных плоскостей. Положение точки А на эпюре будет в этом случае задано проекциями А1 и А4.

Правила перемены плоскостей проекций:

  1. Новая плоскость проекций вводится перпендикулярно, по крайней мере, одной из заданных на чертеже плоскостей проекций;
  2. ДПП располагается относительно проецируемого объекта в частном положении, удобном для решения поставленной задачи;
  3. Новую плоскость совмещаем вращением вокруг новой оси проекций с плоскостью, которой она перпендикулярна на свободное место так, чтобы проекции не накладывались друг на друга.

а                                                                                                        б

Рисунок 4.1 – Способ перемены плоскостей проекций

Свойства:

  1. На чертеже новая проекция геометрического элемента находится на линии связи, перпендикулярной новой оси проекций:

А1А4 ⊥ π1/π4.

  1. Расстояние от А4 до π14 равно расстоянию от А2 до π21, так как величина этих отрезков (отмечены ○) определяет расстояние от точки А до плоскости проекций π1.

При решении задачи необходимо заранее обдумать, как расположить новую плоскость проекций относительно заданных геометрических объектов (прямой, плоскости и др.), и как на чертеже провести новую ось проекций, чтобы в новой системе плоскостей заданные объекты заняли бы частные положения по отношению к новой плоскости проекций.

ПОДРОБНЕЕ:  Правила рекламы на стендах

Рисунок 4.2

Сущность способа вращения состоит в том, что положение системы плоскостей проекций считается неизменным в пространстве, а положение проецируемого объекта относительно неподвижных плоскостей изменяется.

Из сравнения сущности обоих способов видно, что решение задач, которые требуют применения преобразования ортогонального чертежа, может быть выполнено любым из этих способов, результат при этом должен получиться одинаковым. Основа выбора того или иного способа – рациональность решения.

Вращение заданных элементов будем осуществлять вокруг проецирующей прямой, то есть прямой, перпендикулярной какой-либо плоскости проекций, при этом все точки заданных элементов поворачиваются в одну и ту же сторону на один и тот же угол (Рисунок 4.4, а и б). Ось вращения и объект вращения составляют твёрдое тело.

m⊥π2 – ось вращения;

А – точка в пространстве;

О – центр вращения точки А;

АО – радиус вращения

а                                                                                                         б

Рисунок 4.4 – Способ вращения вокруг прямой, перпендикулярной π2

Точка описывает в пространстве окружность радиусом АО. Плоскость окружности перпендикулярна оси вращения (σ⊥m).

Так как m⊥π2 , то σ//π2, следовательно,  σ⊥π1, ⇒ σ1⊥m1, и поэтому σ проецируется на π1 в виде прямой, перпендикулярной проекции оси вращения, а на π2 траектория вращающейся точки проецируется в виде окружности с центром О2≡m2.

Правило начертательной геометрии Советник

Пусть ось вращения m⊥π1 (Рисунок 4.5, а и б). Плоскость окружности σ⊥m.

а                                                                                                            бРисунок 4.5 – Вращение вокруг прямой, перпендикулярной π1left.begin{array}{l}sigmaparallelpi_1\sigmaperp pi_2\end{array}right} npu;mperppi_1Longrightarrowsigma_2perp m_2Свойства проекций

  1. На плоскость проекций, перпендикулярную оси вращения, траектория вращающейся вокруг этой оси точки проецируется без искажения, то есть в окружность с центром, совпадающим с проекцией оси вращения на эту плоскость и радиусом, равным расстоянию от вращаемой точки до оси вращения.
  2. На плоскость проекций, параллельную оси вращения, траектория вращающейся точки проецируется в отрезок, перпендикулярный проекции оси вращения на эту плоскость.
  3. На плоскость проекций, перпендикулярную оси вращения, проекция вращаемого объекта своих размеров и формы не меняет.
ПОДРОБНЕЕ:  Мысль материальна: как работает закон притяжения

Пусть плоскость σ задана треугольником. Необходимо определить истинную величину треугольника (Рисунок 4.7).

Одним поворотом вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, истинную форму треугольника получить нельзя (так же как и введением одной ДПП).

Вращая вокруг оси m, перпендикулярной π1 можно расположить плоскость ΔАВС⊥π2 (а вращая вокруг оси n⊥π2 можно расположить плоскость ΔАВС⊥π1).

Рисунок 4.7

  1. Положим σ’ должна быть перпендикулярна π2. Для чего построим CD – горизонталь плоскости σ. Введём первую ось вращения m⊥π1, например, через точку С.
  2. Повернём треугольник вокруг m до положения, когда
    overline{CD}perppi_2Rightarrowoverline{C}_1overline{D}_1perppi_2/pi_1
    На основании 3-го свойства, новая горизонтальная проекция треугольника overline{A_1B_1C_1} по величине должна равняться A1B1C1, а фронтальная проекция треугольника будет представлять отрезок.
  3. Введём вторую ось вращения n⊥π2 через точку  overline{A}_2. Повернём фронтальную проекцию overline{B_2C_2A_2} в новое положение overline{overline{B_2}overline{C_2}overline{A_2}}parallelpi_2/pi_1. На π1  получим треугольник overline{overline{B_1}overline{C_1}overline{A_1}}, равный истинной величине треугольника АВС.

Предмет начертательной геометрии

Начертательная геометрия – одна из фундаментальных дисциплин инженерного образования, где пространственные фигуры изучаются по их проекционным изображениям. Основной целью данной дисциплины является разработка методов изображения геометрических фигур на плоскости или на другой поверхности и дальнейшее их применение при решении задач.

Методы начертательной геометрии позволяют с высокой степенью точности решать математические задачи графически. В изобразительном искусстве, архитектуре и строительстве метод проекций позволяет получать наглядные изображения создаваемых объектов.

Задачи начертательной геометрии решаются графическим путем. Знание базовых правил и теорем позволяет решать сложные задания путем расчленения процесса их решения на ряд элементарных однотипных операций. Основополагающей операцией, которую приходится выполнять в процессе решения, является определение точки пересечения двух линий.

Начертательная геометрия является одним из лучших средств развития у человека пространственного воображения, логического мышления, без которых сложно представить любое инженерное творчество.

Основные виды задач

Метрическими называются задачи, в которых требуется определить действительные значения величин плоских фигур, углов, отрезков, расстояний или построить геометрические объекты заданных размеров.

В общем случае геометрические фигуры произвольно расположены по отношению к плоскостям проекций и проецируются на эти плоскости с искажением их линейных и угловых величин. Чтобы определить натуральную величину любой плоской фигуры, ее нужно перевести в положение, при котором она будет параллельна одной из плоскостей проекций.

Позиционными называются задачи, в которых требуется определить взаимное положение геометрических объектов – построить линию их пересечения или определить принадлежность точки некоторой фигуре. Для решения позиционных задач обычно используют ряд вспомогательных поверхностей. Их выбирают таким образом, чтобы они пересекались с заданными фигурами по линиям, которые просты для построения – например, по прямым и окружностям.

В начертательной геометрии существуют базовые задачи, без освоения которых невозможно дальнейшее изучение предмета. Это построение ортогональных проекций точек и поверхностей, определение следов прямых и плоскостей. Владение методами преобразования проекций позволяет самостоятельно анализировать и значительно упрощать решение многих задач.

ПОДРОБНЕЕ:  Алименты на содержание родителей в 2019 году: размер выплат, судебная практика

1. Определить расстояние от точки D до отрезка АВ – общего положения (Рисунок 4.8).

Рисунок 4.8

2. Определить расстояние между двумя параллельными прямыми общего положения (АВ//CD) (Рисунок 4.9).

Рисунок 4.9

3. Определить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, заданными отрезками АВ и CD (Рисунок 4.10).

Рисунок 4.10

4. Построить недостающую проекцию точки D при условии, что задана σ=ΔАВС – общего положения и первая проекция точки D1, Dотстоит от плоскости σ на 30 мм (Рисунок 4.11).

Рисунок 4.11

5. Дан отрезок АВ – общего положения. Ось вращения не проходит через АВ (Рисунок 4.12). Определить способом вращения истинную величину АВ.

Рисунок 4.12

6. Задана прямая общего положения m и точка А вне прямой. Построить плоскость, проходящую через точку А и перпендикулярную прямой m (Рисунок 4.13).

https://www.youtube.com/watch?v=ytpress

Рисунок 4.13

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Adblock
detector