Закон излучения Кирхгофа — это… Что такое Закон излучения Кирхгофа?

Применения закона Кирхгофа

В астрофизике

где  — коэффициент излучения (энергия, излучаемая единичным объёмом в единичном интервале частот в единичный телесный угол за единицу времени);  — коэффициент поглощения с учётом вынужденного испускания (, где  — плотность вещества, а и  — соответственно непрозрачность и эффективная длина пробега фотонов для частоты );  — интенсивность излучения абсолютно чёрного тела.

Закон Кирхгофа справедлив только для случаев теплового равновесия. Однако, его часто применяют и для неравновесных систем, когда излучение не находится в равновесии с веществом и его распределение по частотам существенно отличается от планковского. При этом часто (но не всегда) предположение о термодинамическом равновесии между частицами излучающего вещества оказывается хорошим приближением. Степень отклонения от закона Кирхгофа может служить мерой отличия излучения космических объектов от теплового.

Формулировка правил

Определения

Для формулировки правил Кирхгофа вводятся понятия узел, ветвь и контурэлектрической цепи. Ветвью называют участок электрической цепи с одним и тем же током, например, на рис. отрезок, обозначенный R1, I1 есть ветвь. Узлом называют точку соединения трех и более ветвей (на рис. обозначены жирными точками).

Контур — замкнутый путь, проходящий через несколько ветвей и узлов разветвлённой электрической цепи. Термин замкнутый путь означает, что, начав с некоторого узла цепи и однократно пройдя по нескольким ветвям и узлам, можно вернуться в исходный узел. Ветви и узлы, проходимые при таком обходе, принято называть принадлежащими данному контуру. При этом нужно иметь в виду, что ветвь и узел могут принадлежать одновременно нескольким контурам.

В терминах данных определений правила Кирхгофа формулируются следующим образом.

Первое правило

Сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает.i2 i3 = i1 i4

Сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает.
i2 i3 = i1 i4

Первое правило Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумматоков ветвей, сходящихся в каждом узле любой цепи, равна нулю. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла — отрицательным: Алгебраическая сумма токов, направленных к узлу, равна сумме направленных от узла.

∑j=1nIj=0.{displaystyle sum limits _{j=1}^{n}I_{j}=0.}

Иными словами, сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает. Это правило следует из фундаментального закона сохранения заряда.

Второе правило

для постоянных напряжений ∑k=1nEk=∑k=1mUk=∑k=1mRkIk;{displaystyle sum _{k=1}^{n}E_{k}=sum _{k=1}^{m}U_{k}=sum _{k=1}^{m}R_{k}I_{k};}
для переменных напряжений ∑k=1nek=∑k=1muk=∑k=1mRkik ∑k=1muLk ∑k=1muCk.{displaystyle sum _{k=1}^{n}e_{k}=sum _{k=1}^{m}u_{k}=sum _{k=1}^{m}R_{k}i_{k} sum _{k=1}^{m}u_{L,k} sum _{k=1}^{m}u_{C,k}.}

Это правило вытекает из 3-го уравнения Максвелла, в частном случае стационарного магнитного поля.

Иными словами, при полном обходе контура потенциал, изменяясь, возвращается к исходному значению. Частным случаем второго правила для цепи, состоящей из одного контура, является закон Ома для этой цепи. При составлении уравнения напряжений для контура нужно выбрать положительное направление обхода контура.

ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:  Субсидия на приобретение жилья в 2019 году: как получить, расчеты выплаты, необходимые документы

Закон излучения Кирхгофа - это... Что такое Закон излучения Кирхгофа?

Правила Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных линеаризованных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений.

Ссылки

  • Физическая энциклопедия, т.2 — М.:Большая Российская Энциклопедия стр.368 и стр.369
  • Физика космоса: маленькая энциклопедия, М., «СОВЕТСКАЯ ЭНЦИКЛОПЕДИЯ»,1986 [1]
  • Словари и энциклопедии на Академике [2]

Особенности составления уравнений для расчёта токов и напряжений

Если цепь содержит p{displaystyle p} узлов, то она описывается p−1{displaystyle p-1} уравнениями токов. Это правило может применяться и для других физических явлений (к примеру, система трубопроводов жидкости или газа с насосами), где выполняется закон сохранения частиц среды и потока этих частиц.

Если цепь содержит m{displaystyle m} ветвей, из которых содержат источники тока ветви в количестве mi{displaystyle m_{i}}, то она описывается m−mi−(p−1){displaystyle m-m_{i}-(p-1)} уравнениями напряжений.

  • Правила Кирхгофа, записанные для p−1{displaystyle p-1} узлов или m−(p−1){displaystyle m-(p-1)} контуров цепи, дают полную систему линейных уравнений, которая позволяет найти все токи и все напряжения.
  • Перед тем, как составить уравнения, нужно произвольно выбрать:
    • положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме, при этом не обязательно следить, чтобы в узле направления токов были и втекающими, и вытекающими, окончательное решение системы уравнений всё равно даст правильные знаки токов узла;
    • положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону, с целью единообразия рекомендуется для всех контуров положительные направления обхода выбирать одинаковыми (напр.: по часовой стрелке).
  • Если направление тока совпадает с направлением обхода контура (которое выбирается произвольно), падение напряжения считается положительным, в противном случае — отрицательным.
  • При записи линейно независимых уравнений по второму правилу Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону (достаточное, но не необходимое условие).
  • В сложных непланарных графах электрических цепей человеку трудно увидеть независимые контуры и узлы, каждый независимый контур (узел) при составлении системы уравнений порождает ещё 1 линейное уравнение в определяющей задачу системе линейных уравнений. Подсчёт количества независимых контуров и их явное указание в конкретном графе развит в теории графов.

Пример

На этом рисунке для каждой ветви обозначен протекающий по ней ток (буквой «I») и напряжение между соединяемыми ею узлами (буквой «U»)

На этом рисунке для каждой ветви обозначен протекающий по ней ток (буквой «I») и напряжение между соединяемыми ею узлами (буквой «U»)

Количество узлов: 3.

p−1=2{displaystyle p-1=2}

Закон излучения Кирхгофа - это... Что такое Закон излучения Кирхгофа?

Количество ветвей (в замкнутых контурах): 4. Количество ветвей, содержащих источник тока: 0.

ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:  Гражданство ребенка рожденного в России в 2019 году: пошаговая инструкция

https://www.youtube.com/watch?v=https:accounts.google.comServiceLogin

m−mi−(p−1)=2{displaystyle m-m_{i}-(p-1)=2}

Количество контуров: 2.

{I1−I2−I6=0I2−I4−I3=0{displaystyle {begin{cases}I_{1}-I_{2}-I_{6}=0\I_{2}-I_{4}-I_{3}=0end{cases}}}

Обратите внимание, что для каждого узла должно быть выбрано положительное направление, например, здесь токи, втекающие в узел, считаются положительными, а вытекающие — отрицательными.

Решение полученной линейной системы алгебраических уравнений позволяет определить все токи узлов и ветвей, такой подход к анализу цепи принято называть методом контурных токов.

{U2 U4−U6=0U3 U5−U4=0{displaystyle {begin{cases}U_{2} U_{4}-U_{6}=0\U_{3} U_{5}-U_{4}=0end{cases}}}

Полученные системы уравнений полностью описывают анализируемую цепь, и их решения определяют все токи и все напряжения ветвей. Такой подход к анализу цепи принято называть методом узловых потенциалов.

О значении для электротехники

Правила Кирхгофа имеют прикладной характер и позволяют наряду и в сочетании с другими приёмами и способами (метод эквивалентного генератора, принцип суперпозиции, способ составления потенциальной диаграммы) решать задачи электротехники. Правила Кирхгофа нашли широкое применение благодаря простоте формулировки уравнений и возможности их решения стандартными способами линейной алгебры (методом Крамера, методом Гаусса и др.).

Закон излучения Кирхгофа - это... Что такое Закон излучения Кирхгофа?

Первое правило Кирхгофа может быть сформулировано в матричном виде. Именно, пусть электрическая цепь состоит из n{displaystyle n} узлов. Составим матрицу A={aij}i,j=1n{displaystyle A={a_{ij}}_{i,j=1}^{n}}, где aij{displaystyle a_{ij}} при i≠j{displaystyle ineq j} есть проводимость ветви, соединяющеей узлы с номерами i{displaystyle i} и j{displaystyle j} (если они не соединены, можно мысленно соединить их ветвью нулевой проводимости).

Величины aii{displaystyle a_{ii}} положим равными ∑i=1, i≠jn(−aij){displaystyle sum _{i=1,~ineq j}^{n}(-a_{ij})}. Пусть U{displaystyle U} — потенциал, который мы рассматриваем как функцию, определённую на множестве узлов (или, что то же самое, вектор u=(U1,U2,…,Un){displaystyle mathbf {u} =(U_{1},U_{2},dots ,U_{n})} в n{displaystyle n}-мерном пространстве Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}).

Тогда по определению проводимости имеем Iij=aij(Uj−Ui){displaystyle I_{ij}=a_{ij}(U_{j}-U_{i})}, где Iij{displaystyle I_{ij}} — ток в ветви, идущей из вершины i{displaystyle i} в вершину j{displaystyle j}. Стало быть, первое правило Кирхгофа для j{displaystyle j}-того узла можно записать как ∑i=1, i≠jnIij=∑i=1, i≠jnaij(Uj−Ui)=0{displaystyle sum _{i=1,~ineq j}^{n}I_{ij}=sum _{i=1,~ineq j}^{n}a_{ij}(U_{j}-U_{i})=0}, или же ∑i=1, i≠jnaijUj (∑i=1, i≠jn(−aij))Ui=0{displaystyle sum _{i=1,~ineq j}^{n}a_{ij}U_{j} left(sum _{i=1,~ineq j}^{n}(-a_{ij})right)U_{i}=0}, или же, учитывая определение диагональных элементов матрицы, как ∑i=1naijUj=0{displaystyle sum _{i=1}^{n}a_{ij}U_{j}=0}.

В таком виде оно допускает обобщение на проводящие поверхности. У криволинейной поверхности проводимость зависит не только от точки, но и от направления. Иными словами, проводимость является функцией на касательных векторах к поверхности. Если считать, что на касательных пространствах она хорошо приближается положительно определённой квадратичной формой, можно говорить о ней как о римановой метрикеg{displaystyle g} (отличающейся от расстояния на поверхности как геометрической форме, учитывающей неизотропность её электрических свойств).

Каждая точка поверхности может служить узлом, и потому потенциал будет уже не вектором, а функцией u{displaystyle u} на поверхности. Аналогом же матрицы проводимостей будет оператор Лапласа — БельтрамиΔg{displaystyle Delta _{g}} метрики-проводимости, который действует на пространстве гладких функций.

В связи с этим матрицу A{displaystyle A}, сопоставляемую произвольному взвешенному графу, за исключением диагонали равную матрице смежности, иногда называют дискретным лапласианом. Аналоги теорем о гармонических функциях, такие как существование гармонической функции в области с краем при заданных значениях на крае, получающейся свёрткой с некоторым ядром, имеют место и для дискретных гармонических функций.

Обратно, проводящая поверхность может быть приближена сеткой сопротивлений, и дискретные гармонические функции на этой сетке приближают гармонические функции на соответствующей поверхности. На этом обстоятельстве основан интегратор Гершгорина, аналоговая вычислительая машина, использовавшаяся для решения уравнения Лапласа в 30-х — 70-х годах XX века.

ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:  Выплата выходного пособия при ликвидации организации — Трудовая помощь

В случае проводящей поверхности вместо разности потенциалов имеет смысл говорить об 1-формеdu{displaystyle du}. Связанное с ней при помощи метрики-проводимости векторное поле gradg(u){displaystyle mathrm {grad} _{g}(u)} — и есть электрический ток на этой поверхности. Согласно первому правилу Кирхгофа, эта 1-форма тоже гармонична (то есть лежит в ядре ходжева лапласиана, определённого на дифференциальных формах).

Закон излучения Кирхгофа - это... Что такое Закон излучения Кирхгофа?

Это даёт ключ к тому, как правильно формулировать закон Кирхгофа для случая, когда поле не потенциально: именно, 1-форма, получающаяся из тока, рассматриваемого как векторное поле, при помощи проводимости, рассматриваемой как риманова метрика, должна быть гармонична. Зная электродвижущую силу вокруг каждого топологически нетривиального контура на поверхности, можно восстановить силу и направление тока в каждой точке, притом единственным способом.

https://www.youtube.com/watch?v=upload

В частности, размерность пространства всевозможных токов равна размерности пространства топологически нетривиальных контуров. Этот факт был одним из оснований для открытия двойственности Пуанкаре; то обстоятельство, что электродвижущие силы определяют однозначно ток (гармоническую 1-форму), является частным случаем теории Ходжа для 1-форм (теория Ходжа утверждает, что на римановом многообразии всякий класс когомологий де Рама представляется гармонической формой, притом только одной).

Литература

  • Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм : учебное пособие. — М.: Высшая школа, 1983. — 463 с.
  • Калашников С. Г. Электричество : учебное пособие. — М.: Физматлит, 2003. — 625 с.
  • Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. — 11-е издание. — М.: Гардарики, 2007.
  • Герасимов В. Г., Кузнецов Э. В., Николаева О. В. Электротехника и электроника. Кн. 1. Электрические и магнитные цепи. — М.: Энергоатомиздат, 1996. — 288 с. — ISBN 5-283-05005-X.

Эта страница в последний раз была отредактирована 7 августа 2019 в 06:26.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Adblock
detector